Chi ha più freddo?

Un giorno di gran freddo, una persona anziana e un bambino si trovano all’aria aperta. Sono entrambi vestiti allo stesso modo.

Quale dei due ha più freddo?

Yakov Perelman, Matematica ricreativa, Sfide Matematiche, Vol. 25

Decadimenti aritmetici

Sembra (ma nessuno lo ha ancora dimostrato) che ogni numero intero positivo n decada nel numero 1 in un numero finito p di passaggi. Come? Basta leggere il rompicapo n. 3 in Bernardo Santos Recamán, Rompicapo, che passione!, Sfide matematiche, Vol. 16.

Scegliete un numero intero positivo non più grande di 50. Se il numero è pari, dividetelo per 2. Se il numero è dispari, moltiplicatelo per 3 e aggiungete 1 al risultato. Applicate le stesse regole al risultato e continuate così a scrivere la sequenza di numeri fino a che trovate 1. Sotto è riportata la sequenza che risulta partendo dal numero 15:

15→46→23→70→35→106→53→160→80→40→20→10→

5→16→8→4→2→1

Come potete vedere, partendo con il numero 15 ci vogliono 17 passaggi prima di raggiungere 1.

Tra i numeri fino a 50, qual è quello cui compete la catena più lunga?

La soluzione è il numero 27 al quale, secondo il testo, compete una catena di 100 passi per raggiungere 1. Ho fatto i miei calcoli e ho trovato invece che 27 decade nell’unità in 111 passaggi. Vi risparmio la sequenza, ma per verificare la bontà dei miei conticini ho chiesto aiuto all’OEIS, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Innanzitutto ho calcolato p(n) per i primi n interi positivi: p(1) = 0, p(2) = 1, p(3) = 7 [il numero 3 decade nel numero 1 in 7 passaggi secondo la sequenza 3→10→5→16→8→4→2→1], p(4) = 2, p(5) = 5, …, p(9) = 19, p(10) =6. Ho ottenuto così la seguente successione che indica, per un dato n, il numero p di passi ncessario per raggiungere 1:

0, 1, 7, 2, 5, 8, 16, 3, 19, 6

L’OEIS ha fatto tutto il resto: è bastato digitare questi primi dieci valori della successione per ottenere la sequenza A006577 riportata come Number of halving and tripling steps to reach 1 in “3x+1 steps”. Ebbene, il ventisettesimo termine è proprio 111 come da me trovato.

Una curiosità: il numero 27, prima di raggiungere il numero 1, tocca la vetta del numero 7288 dopo 67 passaggi.

L’autore, nel rilevare che con tutti i numeri con cui si è provato si raggiunge 1 usando questo sistema, evidenzia che non c’è ancora una dimostrazione generale che ciò sia valido per tutti i numeri. Per le potenze di 2 è banale. Riemann non c’è più; lascio a voi il compito di dimostrare che le catene di decadimento di tutti gli interi terminano con il numero 1. Per quel che mi riguarda, torno a scambiare figurine con i giapponesi.

L’età della mamma

Tommy: “Quanti anni hai, mamma?”

Mamma: “Lasciami pensare, Tommy. La somma delle nostre età fa esattamente settanta”.

Tommy: “E’ molto, non è vero? E tu quanti anni hai, papà?”

Papà: ” Sei volte la tua età, figlio mio.”

Tommy: “Avrò mai la metà dei tuoi anni, papà?”

Papà: “Certo, Tommy, e quando ciò accadrà la somma delle nostre tre età sarà esattamente il doppio di oggi.”

Tommy: “E supponendo io fossi nato prima di te, papà, e supponendo mamma avesse dimenticato tutto e non fosse stata in casa quando io sono arrivato e …”

Mamma: “Supponiamo, Tommy, di andare a dormire. Sbrigati, caro. Ti verrà il mal di testa.”

Ora, se Tommy avesse avuto qualche anno di più avrebbe calcolato esattamente l’età dei suoi genitori dalle informazioni ricevute. Sapete trovare l’età esatta della mamma?

Henry E. Dudeney, L’Enigma del Mandarino, Passatempi Matematici – I, Sfide Matematiche, Vol. 9.

Il nuovo numero

Bob: A proposito, Helen, non mi hai ancora dato il tuo nuovo numero di casa, che non compare nella guida.

Helen: A dire il vero non vorremmo darlo a tutti, ma risponderò sì o no a 24 domande che mi farai al riguardo.

Bob: Ma Helen, ci sono almeno dieci milioni di possibili numeri di telefono. Come posso indovinare con solo 24 domande?

Non ci volle molto prima che Bob pensasse a un semplice metodo, in grado di determinare un qualunque numero di telefono formato da 7 cifre senza fare più di 24 domande. Se riuscite a trovarlo, fate la prova con i vostri amici.

Martin Gardner, Esperienza A-Ah!, Sfide Matematiche, Vol. 8.

Numeri del Demonio

Come se fosse facile individuarle, le ultime dieci cifre dei numeri:

In Clifford Pickover, La Matematica di Oz – I, Sfide Matematiche, Vol. 7.

I ricordi dello zio stregone

” ‘Una volta misi fuori per i miei cani una scodella di biscotti. Arrivò per primo il più vecchio e ne mangiò la metà più uno. Poi arrivò il secondo cane e mangiò la metà di quelli che trovò più uno. Poi arrivò il terzo e mangiò la metà di quelli che trovò più uno. Poi arrivò il quarto cane, il più piccolo, e mangiò la metà di quelli che trovò più uno: e con questo non restò più alcun biscotto. Quanti biscotti c’erano all’inizio nella scodella?’
“Questo è il problema che mi pose mio zio”.
Qual è la risposta?

Raymond M. Smullyan, Satana, Cantor e l’infinito, Sfide Matematiche, Vol. 6.

Una facile somma

Ne so un’altra simile – disse Pinco Tonto -. Prendi la serie

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …

Mettendo le parentesi in questo modo

(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + …

la somma è zero. Mentre mettendole così

1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + …

la somma è 1. Quindi 1 = 0.

Fallacia o aicallaf?

Ian Stewart, Giochi matematici Enigmi e rompicapi, Sfide Matematiche, Vol. 5.

Persistenza

Una volta il dottor Googol tenne una conferenza durante una sessione estiva alla Harvard University. Quando fece scorrere lo sguardo sulla sua classe di appassionati studenti post-dottorato, sorrise a Monica, la sua migliore allieva.

Il dottor Googol iniziò tracciando un disegno alla lavagna.

969, 486, 192, 18, 8

Poi si girò verso la classe: “Qualcuno può dirmi come nasce questa sequenza?”

Monica alzò la mano immediatamente: “Signore, nella sequenza ‘969, 486, 192, 18, 8′ ogni termine è il prodotto delle cifre del termine che precede”.

“Monica, sei stupefacente. Ora lasciatemi dire qualcosa sulla persistenza del 969. La persistenza di un numero è il numero di passaggi (4 nel nostro esempio) necessari prima che il numero collassi a una sola cifra. Ora, considerate 2 domande particolarmente difficili:

1. Qual è il numero più piccolo con persistenza 3?

2. Qual è il numero più piccolo con persistenza 12? (Suggerimento: questo problema è tanto difficile che non dovete darvi pena di cercare la soluzione.)”

Il dottor Googol osservò gli studenti disorientati. Persino Monica sembrava preoccupata mentre si passava le dita tra i capelli scuri.

Il dottor Googol fissò Monica dritto negli occhi: “Monica, darò una banconota da 100 dollari a chi saprà rispondere alla prima domanda, e una banconota da 1.000 dollari a chi saprà rispondere alla seconda. Prendete tutto il tempo che volete per pensare a questo problema straordinariamente delizioso e diabolico”.

In Clifford Pickover, La magia dei numeri, Sfide Matematiche, vol. 4.

Rompicapi e tiri mancini

Chi di voi sa qualcosa sul cattolicesimo, per caso sa se la Chiesa Cattolica permette a un uomo di sposare la sorella della sua vedova?

In Raymond M. Smullyan, Qual è il titolo di questo libro?, Sfide Matematiche, vol 3.

L’Enigma dell’Allodiere

Il secondo volume di Sfide Matematiche propone Gli Enigmi di Canterbury, scritto nel 1907 da Henry E. Dudeney. Apro a caso a pagina 42 e vi trovo L’Enigma dell’Allodiere. E’ riportato nei termini che seguono.

“C’era nella compagnia un Allodiere, canuta la barba come una margherita”. Chaucer ci dice che egli era proprietario di molte case ed epicureo. “Mai mancava la sua casa di pasticcio di pesce e di carne, anzi così abbondanti che ci piovevano nella sua casa i cibi e le bevande, e tutte le leccornie che mai si possano immaginare”. Era un uomo ospitale e generoso. “La tavola fissa nella sala era tutto il giorno apparecchiata”.

Durante i pasti dei pellegrini, egli di solito sedeva a un capo della tavola, come lo abbiamo trovato quando il cuoco ha proposto il suo problema delle due pietanze.

Un giorno, in una taverna appena fuori Canterbury, la compagnia gli chiese di esporre il suo quesito, ed egli dunque sistemò sulla tavola sedici bottiglie numerate 1, 2, 3, fino a 15, con l’ultima contrassegnata con 0. “Ora, miei signori – esordì – ricorderete bene che il buon Chierico di Oxford ci ha mostrato un enigma a proposito di quel che è chiamato il quadrato magico. In verità io esporrò un altro quesito che può sembrare simile, anche se vi è poco di comune tra i due. Abbiamo qui sedici bottiglie disposte a quadrato, e vi prego di sistemarle in modo da formare un quadrato magico, tale che lungo ogni direzione retta la somma dia trenta. Prestate però attenzione, perché non potete muovere più di dieci delle bottiglie dalla loro posizione attuale, perché in questo consiste la sottigliezza dell’enigma”. Questo è un piccolo enigma che si può convenientemente realizzare con sedici pedine numerate.

Naturalmente nel volume è presente la soluzione.