Noi qui dentro si vive in un lungo letargo, si vive afferrandosi a qualunque sguardo, contandosi i pezzi lasciati là fuori, che sono i suoi lividi, che sono i miei fiori. Io non scrivo più niente, mi legano i polsi, ora l’unico tempo è nel tempo che colsi: qui dentro il dolore è un ospite usuale, ma l’amore che manca è l’amore che fa male. Ogni uomo della vita mia era il verso di una poesia perduto, straziato, raccolto, abbracciato; ogni amore della vita mia ogni amore della vita mia è cielo è voragine, è terra che mangio per vivere ancora Dalla casa dei pazzi, da una nebbia lontana, com’è dolce il ricordo di Dino Campana; perché basta anche un niente per essere felici, basta vivere come le cose che dici, e di vederti in tutti gli amori che hai per non perderti, perderti, perderti mai. Cosa non si fa per vivere, cosa non si fa per vivere, guarda… Io sto vivendo; cosa mi è costato vivere? Cosa l’ho pagato vivere? Figli, colpi di vento… La mia bocca vuole vivere! La mia mano vuole vivere! Ora, in questo momento! Il mio corpo vuole vivere! La mia vita vuole vivere! Amo, ti amo, ti sento! Ogni uomo della vita mia era il verso di una poesia perduto, straziato, raccolto, abbracciato; ogni amore della vita mia ogni amore della vita mia è cielo è voragine, è terra che mangio per vivere ancora.

Roberto Vecchioni, Canzone per Alda Merini

Orfano del De Mauro, ho cercato “catabatico” su Il Sabatini Coletti offerto dal Corriere, ma non l’ho trovato. Ho rimediato con Wikipedia.

Questo pomeriggio su RAI 1, a L’eredità, Carlo Conti ha posto al concorrente di turno una domanda sul teorema della palla pelosa, e google ha portato un po’ di gente a questo post. Se non avessi seguito (per puro caso) la trasmissione, non avrei capito perché le statistiche del blog segnalano quel post tra i più letti del giorno. Piccola Wikipedia.

Il Tree of Life Web Project è il risultato della collaborazione dei biologi di tutto il mondo. In più di diecimila pagine, il progetto fornisce informazioni rispetto alla diversità degli organismi sulla Terra, la loro storia evolutiva (filogenesi) e le loro caratteristiche. Molto utile per la didattica delle scienze.

Ci sono, nell’aria che respiriamo, i cosiddetti gas inerti. Portano curiosi nomi greci di derivazione dotta, che significano «il Nuovo», «il Nascosto», «l’Inoperoso», «lo Straniero». Sono, appunto, talmente inerti, talmente paghi della loro condizione, che non interferiscono in alcuna reazione chimica, non si combinano con alcun altro elemento, e proprio per questo motivo sono passati inosservati per secoli: solo nel 1962 un chimico di buona volontà, dopo lunghi ed ingegnosi sforzi, è riuscito a convincere lo Straniero (lo xenon) a combinarsi fugacemente con l’avidissimo, vivacissimo fluoro, e l’impresa è apparsa talmente straordinaria che gli è stato conferito il Premio Nobel. Si chiamano anche gas nobili, e qui ci sarebbe da discutere se veramente tutti i nobili siano inerti e tutti gli inerti siano nobili; si chiamano infine anche gas rari, benché uno di loro, l’argon, l’Inoperoso, sia presente nell’aria nella rispettabile proporzione dell’1 per cento.

da Primo Levi, Il sistema periodico, «Argon» (in Facciamo scienze, Zanichelli)

Stare in casa con la febbre e leggicchiare svogliatamente tra vecchi appunti e quaderni. Ne vien fuori questo post, che scrivo non meno svogliatamente: la testa mi rimbomba e sto sudando, Dio come sto sudando.

Dati due numeri a e b appartenenti a Z, si dice che sono congrui tra loro secondo il numero naturale n, diverso da zero, se la differenza tra a e b è un multiplo di n:

a ≡ b (mod. n) se, e solo se, a – b = kn, con k appartenente a Z.

Ad esempio, se n=3, due numeri che sono congrui fra loro sono 14 e 8, infatti 14-8=6=2·3. In pratica, il modo più semplice ed immediato per verificare se a e b sono congrui secondo n consiste nel controllare se a e b, divisi per n, danno lo stesso resto. Infatti se a=kn+r e b=hn+r, allora a-b=(k-h)n.

E’ facile convincersi che questa relazione fra i numeri dell’insieme Z è una relazione di equivalenza, cioè che gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Pertanto, fissato un numero naturale n, diverso da zero, possiamo ripartire l’insieme Z in n classi (perché n sono i possibili resti delle divisioni dei numeri di Z per n, ossia 0, 1, 2, 3, …, n-1), mettendo in una stessa classe quei numeri interi relativi che divisi per n danno lo stesso resto. E’ evidente, poi, che il resto r della divisione di a per n appartiene alla stessa classe di a; infatti se a=kn+r, allora a-r=kr.

Ciascuna classe la rappresenteremo con un elemento della stessa e precisamente con il resto. Ad esempio, se n=5, le classi sono:

(0) = {…, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, …}

(1) = {…, -14, -9, -4, 1, 6, 11, 16, 21, …}

(2) = {…, -13, -8, -3, 2, 7, 12, 17, 22, …}

(3) = {…, -12, -7, -2, 3, 8, 13, 18, 23, …}

(4) = {…, -11, -6, -1, 4, 9, 14, 19, 24, …}.

Notiamo dall’esempio che, costruita la classe (0), la classe successiva (1) si ottiene aggiungendo +1 agli elementi della (0); nello stesso modo la classe (2) si ottiene dalla (1), e così di seguito per le altre classi. Notiamo pure che sono soddisfatte le condizioni di partizione; infatti due classi non hanno elementi comuni, l’unione delle classi dà l’insieme Z, e che ogni classe non è vuota.

Consideriamo adesso l’insieme finito delle classi:

Z/n = {(0), (1), (2), …, (n-1)}

e strutturiamo questo insieme con le due operazioni (+) e (×). E’ chiaro che le due operazioni vanno effettuate sulle classi e cioè la somma della classe (a) con la classe (b) dà per risultato la classe (a+b); nello stesso modo per il prodotto: (a)×(b)=(a·b). Le classi, come detto sopra, saranno rappresentate dai resti, che appartengono alle stesse classi. Ad esempio, nel caso n=5, (2)+(4)=(6)=(1), dato che 6 appartiene alla classe (1); così pure (3)×(4)=(12)=(2), dato che 12 appartiene alla classe (2).

Con un po’ di buona volontà ci si può convincere che, indipendentemente dalla scelta dei rappresentanti di ciascuna classe, queste due operazioni sono stabili nell’insieme Z/n e si può dimostrare che (Z/n; +, ×) è un anello unitario commutativo.

Vediamo un’applicazione.

Sappiamo che, fissato un numero n, tutti i numeri che sono divisibili per n sono quelli che divisi per n danno resto zero. Ciò significa che tutti i numeri divisibili per n devono appartenere alla classe (0) dell’insieme Z/n. Per fissare le idee prendiamo n=3 e consideriamo un numero qualsiasi, per esempio 2484. Esso si può scrivere nella forma:

2484 = 2 · 10³ + 4 · 10² + 8 · 10 + 4.

Vediamo a quale classe appartiene nell’anello (Z/n; +, ×). Poiché 10³, 10² e 10, divisi per 3, danno tutti resto 1, essi appartengono alla stessa classe (1), e quindi possiamo sostituirli con 1 perché otterremo un numero congruo al dato, cioè appartenente alla stessa classe. Pertanto (2484) ≡ (2+4+8+4) ≡ (18) ≡ (0), quindi 2484 è divisibile per 3.

Altra applicazione che si può fare con l’anello delle classi Z/n è la spiegazione della regola della prova per 9 nelle operazioni aritmetiche. La cosa è semplice: basta sostituire ai termini delle operazioni i resti della divisione degli stessi per 9 (che si ottengono sommando le cifre, come si è visto per n=3) ed eseguendo le stesse operazioni sui resti; se il risultato ottenuto appartiene alla stessa classe dell’insieme Z/9 di quello ottenuto direttamente con i termini dell’operazione, allora il risultato è verificato. Esempio:

25 · 13 = 325 ≡ 10 ≡ 1

7  · 4    =   28 ≡ 10 ≡ 1.

(non fiori, ma opere di bene).

Vuoi insegnare matematica in una scuola del nord? Impara prima a dire nel giusto dialetto equazione differenziale alle derivate parziali.

Va da via i ciap.

Il blog Rudi Matematici ospita la quindicesima edizione del Carnevale della Matematica.

Una raccomandazione: prendete una pastiglia prima dell’assalto alla Bastiglia.

L’assioma di Pasch, così chiamato dal nome del matematico tedesco Moritz Pasch, è uno degli assiomi che Hilbert aggiunse ai postulati di Euclide per renderli completi e così assiomatizzare la geometria del piano.

Nella sua forma più semplice l’assioma di Pasch si può così enunciare:

Dati nel piano un triangolo ed una retta che ne attraversi un lato in un punto che non sia un estremo, essa deve necessariamente intersecare un altro dei due lati o il vertice in comune tra essi.

Intuitivamente l’assioma potrebbe essere espresso così:

se una retta “entra” in un triangolo attraverso un lato, allora deve uscirne da uno degli altri due.

Nella fig. 1 sono disegnati un triangolo ABC ed una retta r non passante per nessuno dei suoi vertici. La retta r ha un punto in comune con il lato AB. Si pone un problema, in apparenza banale: siamo sicuri che la retta “esca” dal triangolo attraversando uno degli altri due lati?

fig. 1

Da un punto di vista intuitivo, la risposta è ovvia. L’evidenza di questo enunciato è talmente forte, che è difficile pensare alla necessità di postularlo esplicitamente. Ma supponiamo che qualcuno non sia convinto: potremmo suggerirgli di prolungare il disegno di r con un comune righello, e questa semplicissima costruzione confermerebbe che, effettivamente, la retta incontra uno degli altri due lati ed esce dal triangolo. Il nostro interlocutore potrebbe tuttavia ribattere che un ragionamento del genere non è soddisfacente dal punto di vista della geometria razionale: chi ci assicura che il nostro righello fornisca un buon modello di retta? Non potrebbe capitare, invece, che la r rimanga all’interno di ABC, come suggerisce la fig. 2?

fig. 2

Certo, la fig. 2 rappresenta una situazione contraria all’idea che noi tutti abbiamo di retta; ma, come sappiamo, la geometria razionale accetta una proprietà non “perché è evidente dalla figura”, ma solo quando se ne riesce a dare una dimostrazione rigorosa.

Vediamo allora come si può dimostrare che la retta r incontra o il lato AC o il lato BC del triangolo. Dobbiamo, in primo luogo, ricordare il postulato dei semipiani:

Ogni retta r suddivide il piano π in tre sottoinsiemi disgiunti: r, p’ e p”. Un segmento i cui estremi appartengono entrambi a p’ (o entrambi a p”) non ha alcun punto in comune con r, mentre un segmento i cui estremi appartengono l’uno a p’ e l’altro a p” ha un punto in comune con r.

Ora, noi sappiamo che la r incontra il lato AB: di conseguenza, A e B appartengono a parti diverse, ad esempio, A appartiene a p’ e B appartiene a p”. Il punto C, che per ipotesi non sta su r, deve appartenere o a p’ o a p”. Nel primo caso, il lato BC del triangolo ha un punto in comune con r perché B e C appartengono a parti diverse (fig. 3); invece il lato AC non ha punti in comune con r perché A e C appartengono alla stessa parte. Nel secondo caso, il lato AC del triangolo ha un punto in comune con r perché A e C appartengono a parti diverse; invece il lato BC non ha punti in comune con r perché B e C appartengono alla stessa parte.

fig. 3

In conclusione, quindi, r incontra il lato BC o il lato AC.

Abbiamo così dimostrato che:

dato un triangolo ABC, se una retta r (che non passa né per A, né per B, né per C) incontra un lato del triangolo, allora ne incontra anche un altro.

Anzi, possiamo essere più precisi: la r incontra solo un altro lato. L’enunciato precedente è noto come assioma di Pasch. Si potrebbe obiettare che abbiamo dimostrato un assioma, e che quindi è più appropriato parlare di teorema invece che di assioma (si ricordi che assioma è sinonimo di postulato). Il fatto è che, in realtà, il postulato dei semipiani è equivalente all’assioma di Pasch: per chi assume il primo come postulato, il secondo è un teorema, mentre chi accetta l’assioma di Pasch riesce a dimostrare il postulato dei semipiani. Nelle trattazioni di geometria, pertanto, si sceglie uno dei due come postulato e si dimostra l’altro come teorema.

Per la stesura di questo articolo, accanto ai link segnalati ci siamo più o meno fedelmente attenuti al testo L. Cateni, R. Fortini, C. Bernardi, Il nuovo pensiero geometrico, vol. 1, Le Monnier.

Lo so di aver sbagliato a chiudere Hessiano Nullo e mi duole constatare che il nickname è stato già preso da altri (se vi imbattete in http://hessianonullo.tumblr.com, quello NON sono io). Non mi lapidate se vi annuncio che è nato smoot. Senza pretese e in linea con l’impostazione di questo blog, il nuovo tumblelog sarà usato di tanto in tanto per postare piccole cose; sarà soprattutto un modo per mantenere i contatti con qualcuno dei vecchi followers.