… La somma dei cubi di tre numeri naturali consecutivi è divisibile per 9.
Esempi:
0³ + 1³ + 2³ = 0 + 1 + 8 = 9
1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36
5³ + 6³ + 7³ = 125 + 216 + 343 = 684
Naturalmente 9, 36 e 684 sono divisibili per 9. Questi esempi non bastano? E’ da fisici generalizzare sulla base di alcuni casi particolari? Va bene, questa volta andiamo a dimostrare l’enunciato. Procediamo per induzione (quella matematica, però).
Siano n, n+1, n+2 tre numeri naturali consecutivi e sia s(n) la somma dei loro cubi:
s(n) = n³ + (n+1)³ + (n+2)³.
Vogliamo dimostrare che s(n) è divisibile per n qualunque sia il numero naturale n.
Passo base:
s(0) = 0³ + 1³ + 2³ = 9; s(0) è divisibile per 9.
Passo induttivo:
si tratta di vedere se, nell’ipotesi induttiva che s(n) sia divisibile per 9 per ogni n≥0, anche s(n+1) è divisibile per 9.
Ebbene:
s(n+1) = (n+1)³ + (n+2)³ + (n+3)³ =
= (n+1)³ + (n+2)³ + n³ + 9n² + 27n + 27 =
= s(n) + 9(n² + 3n +3).
In tal modo s(n+1) risulta la somma di s(n) e di 9(n² + 3n +3), entrambi divisibili per 9.
Questo è tutto.
