Il teorema di Viviani

Il matematico e fisico Vincenzo Viviani (Firenze 1622 – ivi 1703) fu segretario di Galileo Galilei. Conoscitore profondo della matematica greca, sdegnò i nuovi concetti della geometria degli «indivisibili» e si dedicò a ricostruzioni e commenti della geometria degli antichi. Nel 1659 pubblicò una Divinazione del quinto libro delle sezioni coniche di Apollonio di Perga (De maximis et minimis geometrica divinatio in quintum Conicorum Apollonii Pergaei adhuc desideratum), il cui originale fu scoperto qualche tempo dopo mostrando una notevole corrispondenza; nel 1702 pubblicò la «divinazione» dei Luoghi solidi di Aristeo il Vecchio, del quale non è stato ritrovato l’originale. Nel 1690 pubblicò una traduzione italiana degli Elementi di Euclide, tanto pregiata che nel 1867 Enrico Betti e Francesco Brioschi la ripubblicarono a uso delle scuole. Altre sue traduzioni dei lavori di Archimede sono conservate nella Biblioteca Nazionale di Firenze. Nel 1692 propose ai matematici un problema di notevole interesse geometrico e artistico e ne dette una soluzione basata su una curva oggi nota come finestra di Viviani. Questo suo interesse per gli antichi mostra come egli fosse rimasto legato ai metodi classici non solo in geometria, ma anche per quanto riguarda le nuove idee analitiche cui rimase estraneo.

Galileo Galilei visitato da Vincenzo Viviani. Olio su tavola di Tito Lessi, 1892 (Istituto e Museo di Storia della Scienza, Firenze)

Come fisico, Viviani proseguì gli studi di Galileo sul moto; osservò l’apparente rotazione del piano di oscillazione di un pendolo con sospensione unifilare; collaborò con Evangelista Torricelli all’esecuzione dell’esperimento barometrico; eseguì esperimenti, con dispositivi di sua invenzione, per dimostrare la variazione di pressione atmosferica con l’altezza; in collaborazione con Giovanni Alfonso Borelli determinò, con metodo diretto raccomandato da Galileo, la velocità del suono nell’aria. Fu uno dei più autorevoli membri dell’Accademia del Cimento; nel 1696 fu nominato membro della Royal Society di Londra e nel 1699 della rinnovata Académie des sciences di Parigi.

Oggetto di questo post è il teorema di Viviani:

Un qualsiasi punto P preso all’interno o su uno dei lati di un triangolo equilatero è tale che la somma delle sue distanze dai lati è uguale all’altezza del triangolo.

Condotte da P le parallele ai lati del triangolo, si può facilmente dimostrare il teorema, senza parole, considerando i triangoli equilateri colorati, opportunamente traslati e ruotati come mostrato in successione.

Hans Samelson ha proposto un’altra dimostrazione senza parole basata sui vettori, come mostrato nella figura seguente.

Qui si può trovare, poi, una verifica del teorema di Viviani realizzata con Cabri da Paolo Lazzarini: trascinando il punto P, si vede come la somma delle sue distanze dai lati del triangolo sia indipendente dalla posizione di P stesso. E qui, lo stesso Lazzarini propone una verifica della generalizzazione teorema di Viviani valida per un triangolo qualsiasi.