L’albero della vita

Il Tree of Life Web Project è il risultato della collaborazione dei biologi di tutto il mondo. In più di diecimila pagine, il progetto fornisce informazioni rispetto alla diversità degli organismi sulla Terra, la loro storia evolutiva (filogenesi) e le loro caratteristiche. Molto utile per la didattica delle scienze.

Nobili nascosti, inoperosi e stranieri

Ci sono, nell’aria che respiriamo, i cosiddetti gas inerti. Portano curiosi nomi greci di derivazione dotta, che significano «il Nuovo», «il Nascosto», «l’Inoperoso», «lo Straniero». Sono, appunto, talmente inerti, talmente paghi della loro condizione, che non interferiscono in alcuna reazione chimica, non si combinano con alcun altro elemento, e proprio per questo motivo sono passati inosservati per secoli: solo nel 1962 un chimico di buona volontà, dopo lunghi ed ingegnosi sforzi, è riuscito a convincere lo Straniero (lo xenon) a combinarsi fugacemente con l’avidissimo, vivacissimo fluoro, e l’impresa è apparsa talmente straordinaria che gli è stato conferito il Premio Nobel. Si chiamano anche gas nobili, e qui ci sarebbe da discutere se veramente tutti i nobili siano inerti e tutti gli inerti siano nobili; si chiamano infine anche gas rari, benché uno di loro, l’argon, l’Inoperoso, sia presente nell’aria nella rispettabile proporzione dell’1 per cento.

da Primo Levi, Il sistema periodico, «Argon» (in Facciamo scienze, Zanichelli)

L’anello delle classi modulo n

Stare in casa con la febbre e leggicchiare svogliatamente tra vecchi appunti e quaderni. Ne vien fuori questo post, che scrivo non meno svogliatamente: la testa mi rimbomba e sto sudando, Dio come sto sudando.

Dati due numeri a e b appartenenti a Z, si dice che sono congrui tra loro secondo il numero naturale n, diverso da zero, se la differenza tra a e b è un multiplo di n:

a ≡ b (mod. n) se, e solo se, a – b = kn, con k appartenente a Z.

Ad esempio, se n=3, due numeri che sono congrui fra loro sono 14 e 8, infatti 14-8=6=2·3. In pratica, il modo più semplice ed immediato per verificare se a e b sono congrui secondo n consiste nel controllare se a e b, divisi per n, danno lo stesso resto. Infatti se a=kn+r e b=hn+r, allora a-b=(k-h)n.

E’ facile convincersi che questa relazione fra i numeri dell’insieme Z è una relazione di equivalenza, cioè che gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Pertanto, fissato un numero naturale n, diverso da zero, possiamo ripartire l’insieme Z in n classi (perché n sono i possibili resti delle divisioni dei numeri di Z per n, ossia 0, 1, 2, 3, …, n-1), mettendo in una stessa classe quei numeri interi relativi che divisi per n danno lo stesso resto. E’ evidente, poi, che il resto r della divisione di a per n appartiene alla stessa classe di a; infatti se a=kn+r, allora a-r=kr.

Ciascuna classe la rappresenteremo con un elemento della stessa e precisamente con il resto. Ad esempio, se n=5, le classi sono:

(0) = {…, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, …}

(1) = {…, -14, -9, -4, 1, 6, 11, 16, 21, …}

(2) = {…, -13, -8, -3, 2, 7, 12, 17, 22, …}

(3) = {…, -12, -7, -2, 3, 8, 13, 18, 23, …}

(4) = {…, -11, -6, -1, 4, 9, 14, 19, 24, …}.

Notiamo dall’esempio che, costruita la classe (0), la classe successiva (1) si ottiene aggiungendo +1 agli elementi della (0); nello stesso modo la classe (2) si ottiene dalla (1), e così di seguito per le altre classi. Notiamo pure che sono soddisfatte le condizioni di partizione; infatti due classi non hanno elementi comuni, l’unione delle classi dà l’insieme Z, e che ogni classe non è vuota.

Consideriamo adesso l’insieme finito delle classi:

Z/n = {(0), (1), (2), …, (n-1)}

e strutturiamo questo insieme con le due operazioni (+) e (×). E’ chiaro che le due operazioni vanno effettuate sulle classi e cioè la somma della classe (a) con la classe (b) dà per risultato la classe (a+b); nello stesso modo per il prodotto: (a)×(b)=(a·b). Le classi, come detto sopra, saranno rappresentate dai resti, che appartengono alle stesse classi. Ad esempio, nel caso n=5, (2)+(4)=(6)=(1), dato che 6 appartiene alla classe (1); così pure (3)×(4)=(12)=(2), dato che 12 appartiene alla classe (2).

Con un po’ di buona volontà ci si può convincere che, indipendentemente dalla scelta dei rappresentanti di ciascuna classe, queste due operazioni sono stabili nell’insieme Z/n e si può dimostrare che (Z/n; +, ×) è un anello unitario commutativo.

Vediamo un’applicazione.

Sappiamo che, fissato un numero n, tutti i numeri che sono divisibili per n sono quelli che divisi per n danno resto zero. Ciò significa che tutti i numeri divisibili per n devono appartenere alla classe (0) dell’insieme Z/n. Per fissare le idee prendiamo n=3 e consideriamo un numero qualsiasi, per esempio 2484. Esso si può scrivere nella forma:

2484 = 2 · 10³ + 4 · 10² + 8 · 10 + 4.

Vediamo a quale classe appartiene nell’anello (Z/n; +, ×). Poiché 10³, 10² e 10, divisi per 3, danno tutti resto 1, essi appartengono alla stessa classe (1), e quindi possiamo sostituirli con 1 perché otterremo un numero congruo al dato, cioè appartenente alla stessa classe. Pertanto (2484) ≡ (2+4+8+4) ≡ (18) ≡ (0), quindi 2484 è divisibile per 3.

Altra applicazione che si può fare con l’anello delle classi Z/n è la spiegazione della regola della prova per 9 nelle operazioni aritmetiche. La cosa è semplice: basta sostituire ai termini delle operazioni i resti della divisione degli stessi per 9 (che si ottengono sommando le cifre, come si è visto per n=3) ed eseguendo le stesse operazioni sui resti; se il risultato ottenuto appartiene alla stessa classe dell’insieme Z/9 di quello ottenuto direttamente con i termini dell’operazione, allora il risultato è verificato. Esempio:

25 · 13 = 325 ≡ 10 ≡ 1

7  · 4    =   28 ≡ 10 ≡ 1.

(non fiori, ma opere di bene).