L’assioma di Pasch

L’assioma di Pasch, così chiamato dal nome del matematico tedesco Moritz Pasch, è uno degli assiomi che Hilbert aggiunse ai postulati di Euclide per renderli completi e così assiomatizzare la geometria del piano.

Nella sua forma più semplice l’assioma di Pasch si può così enunciare:

Dati nel piano un triangolo ed una retta che ne attraversi un lato in un punto che non sia un estremo, essa deve necessariamente intersecare un altro dei due lati o il vertice in comune tra essi.

Intuitivamente l’assioma potrebbe essere espresso così:

se una retta “entra” in un triangolo attraverso un lato, allora deve uscirne da uno degli altri due.

Nella fig. 1 sono disegnati un triangolo ABC ed una retta r non passante per nessuno dei suoi vertici. La retta r ha un punto in comune con il lato AB. Si pone un problema, in apparenza banale: siamo sicuri che la retta “esca” dal triangolo attraversando uno degli altri due lati?

fig. 1

Da un punto di vista intuitivo, la risposta è ovvia. L’evidenza di questo enunciato è talmente forte, che è difficile pensare alla necessità di postularlo esplicitamente. Ma supponiamo che qualcuno non sia convinto: potremmo suggerirgli di prolungare il disegno di r con un comune righello, e questa semplicissima costruzione confermerebbe che, effettivamente, la retta incontra uno degli altri due lati ed esce dal triangolo. Il nostro interlocutore potrebbe tuttavia ribattere che un ragionamento del genere non è soddisfacente dal punto di vista della geometria razionale: chi ci assicura che il nostro righello fornisca un buon modello di retta? Non potrebbe capitare, invece, che la r rimanga all’interno di ABC, come suggerisce la fig. 2?

fig. 2

Certo, la fig. 2 rappresenta una situazione contraria all’idea che noi tutti abbiamo di retta; ma, come sappiamo, la geometria razionale accetta una proprietà non “perché è evidente dalla figura”, ma solo quando se ne riesce a dare una dimostrazione rigorosa.

Vediamo allora come si può dimostrare che la retta r incontra o il lato AC o il lato BC del triangolo. Dobbiamo, in primo luogo, ricordare il postulato dei semipiani:

Ogni retta r suddivide il piano π in tre sottoinsiemi disgiunti: r, p’ e p”. Un segmento i cui estremi appartengono entrambi a p’ (o entrambi a p”) non ha alcun punto in comune con r, mentre un segmento i cui estremi appartengono l’uno a p’ e l’altro a p” ha un punto in comune con r.

Ora, noi sappiamo che la r incontra il lato AB: di conseguenza, A e B appartengono a parti diverse, ad esempio, A appartiene a p’ e B appartiene a p”. Il punto C, che per ipotesi non sta su r, deve appartenere o a p’ o a p”. Nel primo caso, il lato BC del triangolo ha un punto in comune con r perché B e C appartengono a parti diverse (fig. 3); invece il lato AC non ha punti in comune con r perché A e C appartengono alla stessa parte. Nel secondo caso, il lato AC del triangolo ha un punto in comune con r perché A e C appartengono a parti diverse; invece il lato BC non ha punti in comune con r perché B e C appartengono alla stessa parte.

fig. 3

In conclusione, quindi, r incontra il lato BC o il lato AC.

Abbiamo così dimostrato che:

dato un triangolo ABC, se una retta r (che non passa né per A, né per B, né per C) incontra un lato del triangolo, allora ne incontra anche un altro.

Anzi, possiamo essere più precisi: la r incontra solo un altro lato. L’enunciato precedente è noto come assioma di Pasch. Si potrebbe obiettare che abbiamo dimostrato un assioma, e che quindi è più appropriato parlare di teorema invece che di assioma (si ricordi che assioma è sinonimo di postulato). Il fatto è che, in realtà, il postulato dei semipiani è equivalente all’assioma di Pasch: per chi assume il primo come postulato, il secondo è un teorema, mentre chi accetta l’assioma di Pasch riesce a dimostrare il postulato dei semipiani. Nelle trattazioni di geometria, pertanto, si sceglie uno dei due come postulato e si dimostra l’altro come teorema.

Per la stesura di questo articolo, accanto ai link segnalati ci siamo più o meno fedelmente attenuti al testo L. Cateni, R. Fortini, C. Bernardi, Il nuovo pensiero geometrico, vol. 1, Le Monnier.