Esami di dialetto
Vuoi insegnare matematica in una scuola del nord? Impara prima a dire nel giusto dialetto equazione differenziale alle derivate parziali.
Carnevale della Matematica #15
Il blog Rudi Matematici ospita la quindicesima edizione del Carnevale della Matematica.
Una raccomandazione: prendete una pastiglia prima dell’assalto alla Bastiglia.
L’assioma di Pasch
L’assioma di Pasch, così chiamato dal nome del matematico tedesco Moritz Pasch, è uno degli assiomi che Hilbert aggiunse ai postulati di Euclide per renderli completi e così assiomatizzare la geometria del piano.
Nella sua forma più semplice l’assioma di Pasch si può così enunciare:
Dati nel piano un triangolo ed una retta che ne attraversi un lato in un punto che non sia un estremo, essa deve necessariamente intersecare un altro dei due lati o il vertice in comune tra essi.
Intuitivamente l’assioma potrebbe essere espresso così:
se una retta “entra” in un triangolo attraverso un lato, allora deve uscirne da uno degli altri due.
Nella fig. 1 sono disegnati un triangolo ABC ed una retta r non passante per nessuno dei suoi vertici. La retta r ha un punto in comune con il lato AB. Si pone un problema, in apparenza banale: siamo sicuri che la retta “esca” dal triangolo attraversando uno degli altri due lati?
fig. 1
Da un punto di vista intuitivo, la risposta è ovvia. L’evidenza di questo enunciato è talmente forte, che è difficile pensare alla necessità di postularlo esplicitamente. Ma supponiamo che qualcuno non sia convinto: potremmo suggerirgli di prolungare il disegno di r con un comune righello, e questa semplicissima costruzione confermerebbe che, effettivamente, la retta incontra uno degli altri due lati ed esce dal triangolo. Il nostro interlocutore potrebbe tuttavia ribattere che un ragionamento del genere non è soddisfacente dal punto di vista della geometria razionale: chi ci assicura che il nostro righello fornisca un buon modello di retta? Non potrebbe capitare, invece, che la r rimanga all’interno di ABC, come suggerisce la fig. 2?
fig. 2
Certo, la fig. 2 rappresenta una situazione contraria all’idea che noi tutti abbiamo di retta; ma, come sappiamo, la geometria razionale accetta una proprietà non “perché è evidente dalla figura”, ma solo quando se ne riesce a dare una dimostrazione rigorosa.
Vediamo allora come si può dimostrare che la retta r incontra o il lato AC o il lato BC del triangolo. Dobbiamo, in primo luogo, ricordare il postulato dei semipiani:
Ogni retta r suddivide il piano π in tre sottoinsiemi disgiunti: r, p’ e p”. Un segmento i cui estremi appartengono entrambi a p’ (o entrambi a p”) non ha alcun punto in comune con r, mentre un segmento i cui estremi appartengono l’uno a p’ e l’altro a p” ha un punto in comune con r.
Ora, noi sappiamo che la r incontra il lato AB: di conseguenza, A e B appartengono a parti diverse, ad esempio, A appartiene a p’ e B appartiene a p”. Il punto C, che per ipotesi non sta su r, deve appartenere o a p’ o a p”. Nel primo caso, il lato BC del triangolo ha un punto in comune con r perché B e C appartengono a parti diverse (fig. 3); invece il lato AC non ha punti in comune con r perché A e C appartengono alla stessa parte. Nel secondo caso, il lato AC del triangolo ha un punto in comune con r perché A e C appartengono a parti diverse; invece il lato BC non ha punti in comune con r perché B e C appartengono alla stessa parte.
fig. 3
In conclusione, quindi, r incontra il lato BC o il lato AC.
Abbiamo così dimostrato che:
dato un triangolo ABC, se una retta r (che non passa né per A, né per B, né per C) incontra un lato del triangolo, allora ne incontra anche un altro.
Anzi, possiamo essere più precisi: la r incontra solo un altro lato. L’enunciato precedente è noto come assioma di Pasch. Si potrebbe obiettare che abbiamo dimostrato un assioma, e che quindi è più appropriato parlare di teorema invece che di assioma (si ricordi che assioma è sinonimo di postulato). Il fatto è che, in realtà, il postulato dei semipiani è equivalente all’assioma di Pasch: per chi assume il primo come postulato, il secondo è un teorema, mentre chi accetta l’assioma di Pasch riesce a dimostrare il postulato dei semipiani. Nelle trattazioni di geometria, pertanto, si sceglie uno dei due come postulato e si dimostra l’altro come teorema.
Per la stesura di questo articolo, accanto ai link segnalati ci siamo più o meno fedelmente attenuti al testo L. Cateni, R. Fortini, C. Bernardi, Il nuovo pensiero geometrico, vol. 1, Le Monnier.
smoot
Lo so di aver sbagliato a chiudere Hessiano Nullo e mi duole constatare che il nickname è stato già preso da altri (se vi imbattete in http://hessianonullo.tumblr.com, quello NON sono io). Non mi lapidate se vi annuncio che è nato smoot. Senza pretese e in linea con l’impostazione di questo blog, il nuovo tumblelog sarà usato di tanto in tanto per postare piccole cose; sarà soprattutto un modo per mantenere i contatti con qualcuno dei vecchi followers.
Guai toccare il V postulato
Janos Bolyai era figlio di un matematico e si era dedicato al problema delle parallele nonostante l’esplicito scoraggiamento da parte del padre:
“… per amor del cielo, ti imploro di desistere dal tentativo. Il problema delle parallele è una cosa da temere ed evitare non meno delle passioni dei sensi, poiché anch’esso può rubarti tutto il tuo tempo e privarti della salute, della serenità e della felicità”.
Da una lettura in L. Cateni, R. Fortini, C. Bernardi, Il nuovo pensiero geometrico, vol. 2, Le Monnier.
Ci sono immagini
Ci sono immagini che non lasciano indifferenti.
Ethnic clashes in Urumqi, China – The Big Picture, Boston.com
TSP
Qui vi si dice come l’immagine abbia a che fare con il Problema del commesso viaggiatore (the Travelling Salesman Problem).
Julia
Julia you set the standards for me
Walk to your door
Beggin for it just to be more and
Julia I couldn’t do much better than you
Said so yourself
I wouldn’t want anyone else
And I can’t live without your love
And I can’t live without your love
Well I can’t live without you
Julia oh you’re drivin me crazy
But I’m a…I’m a part of your plans
Oh just a man while your dreams be
You’re just a part of me
Oh please see how much how much you mean to me
Please see how much how much you mean to me Julia
And Julia straight away you’ve had me
And I know I’ve had you
You’re a part of me too
And I can’t live without your love
And I can’t live without your love
Well I can’t live without you Julia
And I can’t live without your love
And I can’t live without your love
Well I can’t live without you Julia.
Pavlov’s Dog, Pampered Menial (1975), Julia
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