Phi e i triangoli rettangoli

Domanda:

esiste un triangolo rettangolo i cui lati siano in progressione geometrica?

Se tale triangolo esiste, sia a la lunghezza del cateto minore e sia r il comune rapporto nella progressione geometrica; in tal modo i tre lati avranno lunghezza a, ar, ar² come mostrato nella figura seguente.

Applicando il teorema di Pitagora, risulta:

Possiamo dividere per a²:

Posto R = r², otteniamo l’equazione di secondo grado:

ovvero:

Risolvendo si trova:

ove si è posto:

Poiché R è r², la soluzione negativa non è accettabile; pertanto:

da cui:

I lati del triangolo sono pertanto:

e qualunque triangolo rettangolo con i lati in progressione geometrica ha due coppie di lati nello stesso rapporto √Phi e una coppia di lati nel rapporto aureo.