La costruzione di Lemoine della sezione aurea

Nel post precedente abbiamo illustrato i procedimenti di Hofstetter per costruire la sezione aurea di un segmento utilizzando solo circonferenze e una retta. In quest’ottica presentiamo qui la variante di Lemoine, proponendoci ancora una volta di individuare il gold point di un dato segmento AB. Con riferimento alla figura seguente, ecco cosa dobbiamo fare con un compasso ed un righello.

1. Con centro in A, si tracci la circonferenza passante per B.
2. Con centro in B, si tracci la circonferenza passante per A e siano C e D i punti di intersezione con la precedente circonferenza.
3. Con centro in C, si tracci una terza circonferenza passante per A e B e sia E la sua ulteriore intersezione con la prima circonferenza.
4. Si tracci il segmento CD e sia F la sua intersezione con la terza circonferenza.
5. Con centro in E si descriva infine la circonferenza passante per F e sia G la sua intersezione con il segmento AB.

G è il gold point di AB. Inoltre, se si prolunga BA sino ad incontrare in G’ la circonferenza più grande di centro E, allora A è il gold point di G’B.

Dimostrazione.

Supponiamo che AB abbia lunghezza unitaria. Allora CD = √3 e EG = EF = √2. Sia H la proiezione ortogonale di E sulla retta AB. Poiché HA = 1/2, e

si ha che

Ciò prova che G divide AB nel rapporto aureo. Si noti che l’altra intersezione G’ della retta AB con la circonferenza di centro E è tale che

e ciò prova che G’ è il gold point di G’B.