Le circonferenze di Hofstetter

Kurt Hofstetter ha realizzato una costruzione veramente molto semplice per determinare la sezione aurea di un segmento. Basta disporre di un compasso per tracciare quattro circonferenze. Con riferimento alla figura seguente, la costruzione avviene in tre passi:

1. Siano X e Y due punti presi su una retta r. Con centro in X si descriva la circonferenza passante per Y (verde) e con centro in Y la circonferenza passante per X (verde). Siano G (top) e B (bottom) i punti di intersezione delle due circonferenze e P e Q le intersezioni con la retta r.
2. Con centro in X, si tracci la circonferenza passante per Q (nera).
3. Con centro in Y, si tracci la circonferenza passante per P (nera) e sia A (top) il punto di intersezione delle due circonferenze nere.

Vogliamo provare che il punto G è un gold point di AB, ossia che il segmento GB è la sezione aurea di AB.

E’ evidente che A, G, B sono allineati. Si tratta di far vedere che G divide AB nel rapporto aureo:

Assunto XY di lunghezza 2, allora BG = 2√3 e AB = √15 + √3. Ne consegue:

Lo stesso Hofstetter ha scoperto un’ulteriore semplice costruzione del gold point di un segmento AB usando soltanto circonferenze ed un segmento. Con riferimento alla figura seguente, i passi  da seguire sono quelli sotto riportati:

1. Con centro in A, si tracci la circonferenza passante per B.
2. Con centro in B, si tracci la circonferenza passante per A.
3. Si prolunghi il segmento BA sino ad incontrare in C la circonferenza di centro A.
4. Sia D (bottom) il punto di intersezione delle due circonferenze.
5. Con centro in C si descriva un’altra circonferenza passante per B.
6. Sia E il punto di intersezione di quest’ultima circonferenza con la circonferenza di centro B precedentemente disegnata.

Il segmento DE interseca il segmento AB in G.

Ebbene, G è un gold point di AB. Per la dimostrazione si faccia riferimento alla figura seguente.

Supponiamo che AB abbia lunghezza unitaria. E’ sufficiente dimostrare che AG =½(√5 – 1). A tal fine, si prolunghi BA sino ad intersecare in H la circonferenza di centro C. Sia I l’intersezione del segmento FD col segmento AB e sia J la proiezione ortogonale di E su AB. Nel triangolo rettangolo HEB, BH = 4, BE = 1. Poiché, per il primo teorema di Euclide, BE² = BJ × BH, ne consegue che BJ = 1/4. Ne consegue anche che JE = 1/4√15.

Essendo inoltre:

ne segue che:

e

Ciò prova che G divide AB nel rapporto aureo.