La formula di Brahmagupta

In questo post raccolgo alcune formule per calcolare l’area di un quadrilatero.

Sia ABCD un generico quadrilatero e siano a, b, c, d, rispettivamente, le misure dei lati AB, BC, CD, AD.

Sia θ la semisomma di due qualsiasi angoli opposti. Detto p il semiperimetro del quadrilatero, risulta:

Nel caso particolare di un quadrilatero ciclico, ossia di un quadrilatero inscrittibile in una circonferenza, essendo gli angoli opposti supplementari ne consegue che θ = π/2, valore per il quale il coseno si annulla. La formula diventa:

Ed è questa la relazione nota come formula di Brahmagupta. E’ evidente che, tra tutti i quadrilateri di cui sia assegnata la lunghezza dei lati, l’area è massima per il quadrilatero ciclico.

Se R è la lunghezza del raggio della circonferenza circoscritta, per i quadrilateri ciclici vale altresì la seguente relazione:

Per un quadrilatero bicentrico (ossia che può essere inscritto in una circonferenza e circoscritto ad un’altra), la formula dell’area si riduce alla seguente:

Per tali quadrilateri sussiste la relazione:

dove R è la lunghezza del raggio della circonferenza circoscritta, r quella del raggio della circonferenza inscritta e x rappresenta la distanza dei due centri.

Qui e qui per gli approfondimenti.