Frattali

La geometria frattale descrive strutture fortemente irregolari che godono della proprietà di autosomiglianza (o invarianza di scala): ingrandendo una qualunque parte del sistema, questa mostra una struttura identica a quella dell’intero sistema.

Alcune curve frattali vennero studiate a fine Ottocento-inizio Novecento da Helge von Koch e Giuseppe Peano e considerate alla stregua di stranezze matematiche. Helge von Koch ha dato il nome al  frattale noto come curva di Koch. Si deve a Benoît Mandelbrot l’aver sviluppato il concetto di geometria frattale (termine introdotto nel 1975) e l’aver mostrato con numerosi e suggestivi esempi che concetti considerati fino ad allora come delle curiosità astratte costituiscono invece un apparato matematico di nuovo tipo per la descrizione delle strutture intrinsecamente irregolari. In pochi anni questo concetto è divenuto molto popolare in discipline anche molto diverse come matematica, fisica, chimica, biologia, informatica e recentemente anche in fisiologia. E’ importante chiarire che la geometria frattale permette di caratterizzare in modo matematico e quantitativo le strutture fortemente irregolari, ma non fornisce una spiegazione del perchè queste strutture sono frattali. La comprensione dell’origine delle strutture frattali in natura e quindi la possibilità di formulare una teoria dei frattali costituiscono il problema principale in questo campo e sono oggetto di vasto interesse scientifico.

Consideriamo come esempio intuitivo di struttura frattale la curva triadica di von Koch (il merletto a trina di Koch), che è definita da un semplice processo iterativo come quello illustrato qui. La curva di von Koch è costruita suddividendo un segmento in tre parti uguali e sostituendo al segmento centrale una coppia di segmenti di ugual lunghezza posti come due lati di un triangolo equilatero. A ciascuno dei lati della spezzata così formata si sostituiscono ulteriormente quattro spezzate di forma identica, ma di dimensioni corrispondenti a quelle del segmento sostituito, e così via. E’ importante notare che considerando unitario (3/3) il segmento iniziale l, la figura che si viene a costruire nella iterazione 1 ha lunghezza effettiva N(l) pari a 4/3, un rapporto che si mantiene in tutte le iterazioni successive.

Poiché curve come la precedente non si possono misurare nel modo solito, avendo lunghezza infinita, nel 1918 Felix Hausdorff propose di misurare almeno il grado di autosomiglianza, estendendo la nozione di dimensione nel modo seguente. Un segmento è una figura autosimile unidimensionale, che si può ottenere ponendo insieme due parti di grandezza un mezzo. Analogamente, un quadrato è una figura autosimile bidimensionale, che si può ottenere ponendo insieme quattro parti di grandezza un mezzo. E un cubo è una figura autosimile tridimensionale, che si può ottenere ponendo insieme otto parti di grandezza un mezzo. In generale, si può allora dire che una figura autosimile di dimensione d è ciò che si può ottenere ponendo insieme n elevato a d parti di grandezza 1/n. Poichè la curva di Koch si ottiene ponendo insieme quattro parti di grandezza 1/3, questo significa che la sua dimensione d è tale che:

Figure aventi dimensione frazionaria nel senso appena definito si dicono “frattali” ed esistono in grandi quantità. Per esempio, per ogni numero reale r compreso tra 1 e 2 esiste una curva frattale di dimensione r.  La dimensione frattale tiene conto del modo in cui una curva riempie un piano avvicinandosi alla dimensione euclidea 2 di una superficie. Partendo dal merletto di Koch, e passando per la stella di David, si può anche costruire il fiocco di neve di Koch. E se avete letto l’interessante articolo del Professore sul pentagono e la sezione aurea, allora potete meglio apprezzare anche la costruzione del merletto aureo, del pentagono frattale e della stella frattale. Qui potete trovare una lista di frattali per dimensione di Hausdorff.

Esistono analogamente anche superfici frattali di dimensione compresa tra 2 e 3. Un esempio, detto spugna di Sierpinski-Menger, si può ottenere considerando un cubo, dividendolo in 27 cubi, sottraendo i sette centrali (sei sulle facce e uno all’interno), e ripetendo il processo all’infinito: la dimensione di questa superficie è circa 2,72, mentre il volume da essa racchiuso è 0. Gli esempi di frattali mostrati sono altamente regolari, e usano a ogni passo sempre lo stesso procedimento: per questo motivo, ingrandire un particolare produce un’immagine dello stesso tipo della figura in grande.

Si possono però anche considerare frattali la cui costruzione utilizza procedimenti diversi a ogni passo: in questo caso, ingrandire particolari produce immagini diverse dalla figura in grande. Mandelbrot scoprì una sorta di frattale universale, definito in maniera piuttosto indiretta: considerando, cioè, la trasformazione x²+c di punti del piano (i valori di x sono dunque numeri complessi e non solo reali) e applicandola ripetutamente, partendo da punti qualunque. Qui trovate tutto sull’insieme di Mandelbrot e sulle sue relazioni con l’insieme di Jiulia. E qui una bella galleria di immagini.

Grazie all’impegno scientifico e divulgativo di Mandelbrot, la geometria frattale è diventata oggetto e strumento fondamentale di studio nei campi più disparati, ovunque fosse necessario descrivere strutture naturali e fortemente irregolari. Una caratteristica che colpisce leggendo articoli e riviste scientifici del settore, è l’interdisciplinarietà della ricerca sugli oggetti e i sistemi frattali: dalla fisica dello stato condensato alla fisiologia umana, dall’economia alla produzione di immagini di sintesi per effetti speciali cinematografici.

Ma avremo modo di ritornare sull’argomento.

Nel frattempo potete giocare.