Quando non c’erano le calcolatrici, come si calcolava il valore di √10 o di un qualunque intero non quadrato?
Qui potete trovare vari procedimenti, tra cui quello seguito da Erone. Noi proponiamo, sotto forma di esercizio guidato, il metodo introdotto nel Cinquecento dal matematico Bombelli.
a) Si parte constatando che √10 = 3 + x, dove 3 è il primo intero approssimato (per difetto) di√10 e x è un numero positivo minore di 1. Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:
10 = ……. .
b) In tale espressione si può trascurare il numero x², che è sicuramente molto minore di x, e quindi:
10 ≈ 9 + 6x, da cui si ricava
x ≈ ……. . Perciò il secondo valore approssimato di √10 è:
3 + ……. = ……. (in forma frazionaria) = ……. (in forma decimale).
c) Ora, sostituendo il valore di x solo parzialmente, si può riscrivere l’uguaglianza al punto a) come:
10 = 9 + 6x +x/6 e quindi ricavare un nuovo valore di x:
x = ……. .
Perciò il terzo valore approssimato di √10 si ottiene con
3 + ……. = ……. (in forma frazionaria) = ……. (in forma decimale).
d) Procedendo nello stesso modo si può trovare il quarto valore approssimato di √10, ovvero:
3 + ……. = ……. (in forma frazionaria) = ……. (in forma decimale).
E’ possibile reperire attività come quella proposta in La matematica per il cittadino, Zanichelli editore.
Posted by .mau. on Lunedì 19 Maggio 2008 at 19:13
io preferivo la media aritmogeometrica
Posted by Maurizio on Lunedì 19 Maggio 2008 at 19:26
La media aritmogeometrica per la tetraktys …
Posted by annarita on Lunedì 19 Maggio 2008 at 20:43
Beh, dovevo scoprirti per caso, Maurizio? Non potevi battere un colpo?
Comunque, felice di ritrovarti in rete! Buona vita!
Posted by Maurizio on Lunedì 19 Maggio 2008 at 21:10
Annarita, la risposta alle tue domande è nel nome del blog. Ti abbraccio.
Posted by annarita on Lunedì 19 Maggio 2008 at 22:07
Penso di aver compreso! Un abbraccio anche da parte mia. La nostra reciproca conoscenza virtuale è stata breve, ma per quanto mi riguarda hai lasciato il segno:)
Posted by hronir on Martedì 20 Maggio 2008 at 1:27
Non ho capito come arrivi a scrivere:
(X): 10 = 9 + 6x +x/6
non mi è chiaro cosa intendi con “sostituendo il valore di x solo parzialmente”.
Da b), io ai tuoi puntini sostituisco:
x ≈ 1/6
e perciò
√10 ≈ 3 + 1/6
Cosa significa, ora, riscrivere la a)? forse scrivere
(A): √10 = 3 + (x→1/6) = 3 + 1/6
? ma otteniamo una semplice inuguaglianza; forse scrivere
(B): √10 = 3 + 1/6 + x
? in questo caso, quadrando, otterremmo:
10 = 10 + 1/36 + (6 + 1/3)x + O(x²)
ovvero
x = -1/(12*19)
che effettivamente, sostituito alla B) rappresenta effettivamente un’approssimazione migliore… ma a (X) come ci sei arrivato? e perchè? e’ forse il quadrato perfetto di qualche bi- o tri-nomio, a meno di termini di ordine x²?
Boh…
Posted by Maurizio on Martedì 20 Maggio 2008 at 8:06
Gli elementi corretti da inserire negli spazi sono i seguenti:
a) 9 + 6x + x^2
b) 1/6 1/6 1 9/6 3,1(6)
c) Dato che x = 1/6 e 10 = 9 + 6x + x^2, la sostituzione parziale significa 10 = 9 + 6x + x.x = 9 + 6x + 1/6x. Pertanto i numeri da inserire sono i seguenti:
6/37 6/37 117/37 3,(162)
d) Con x = 6/37 si ha 10 = 9 + 6x + 6/37x, da cui si ricava x = 37/228. Pertanto i numeri da inserire sono i seguenti:
37/228 721/228 3,162280702…
Posted by hronir on Martedì 20 Maggio 2008 at 9:58
Ok, grazie, ora e’ chiaro: sostituzione parziale significava dunque sostituire al quadrato di x, un prodotto fra l’x lasciato ancora variabile e il valore approssimato per x appena trovato.
(Ma era così ovvio?)
Ciao!