Ad un soffio dal traguardo

Per quanti anni dovrò ancora rinnovare l’abbonamento a Scuola e Didattica? Le tabelle di corriere.it non è che mi aiutino poi molto. Sarà l’età.

In ogni caso mi sento fregare. Tanto.

Centrali nucleari?

Chi vuol essere milionario?

Pare che qualcuno abbia oggi vinto un gruzzoletto al gioco a quiz di Jerry Scotti grazie anche a questo post in cui scrivevo di Torricelli e Galilei. Prosit.

Il Carnevale dell’Assunta

L’ottimo zar, nel suo blog Gli studenti di oggi, ospita la ventottesima edizione del Carnevale della Matematica. Da leggere, rileggere e conservare con cura.

Performante

Mi capita sempre più spesso, specialmente leggendo i cosiddetti blog tecnici, di inciampare nell’aggettivo performante.

Joseph Ludwig Raabe

Il matematico Joseph Ludwig Raabe nacque il 15 maggio 1801 a Brody nella regione storica della Galizia, oggi Ucraina, e morì a Zurigo il 22 gennaio 1859. Di questo matematico svizzero in Internet si trova ben poco e le scarne note biografiche che trovate in questo post sono desunte prevalentemente dal Dizionario Storico della Svizzera, Historisches Lexikon der Schweiz. Figlio di Wolf, uno sfortunato commerciante al dettaglio, e di Haja, Raabe fu costretto a guadagnarsi da vivere sin da giovanissimo dando lezioni private. Nel periodo che va dal 1820 al 1827 studiò matematica in Austria presso il politecnico di Vienna; nell’autunno del 1832, sollecitato da Johannes Eschmann, si spostò a Zurigo, dove insegnò matematica al liceo e divenne libero docente all’università nel 1833. Fu poi professore straordinario (1843) e ordinario (1855-1859) all’università e al Politecnico Svizzero rifondato di Zurigo.

Raabe è particolarmente noto per il contributo portato allo studio del calcolo differenziale e integrale. Pubblicò lavori nel campo degli integrali definiti, dei numeri di Bernoulli e della teoria delle serie. Fra le sue pubblicazioni ricordiamo i tre volumi di Differential und Integralrechnung (Zurigo, 1839-1847) e i due volumi di  Mathematische Mitteilungen (1857-1858). Studiò anche interessanti problemi di astronomia come, per esempio, il moto progressivo del centro di gravità dei pianeti.

Il suo nome è legato all’integrale di Raabe della funzione gamma e, soprattutto, al criterio di Raabe (o di Raabe-Duhamel) per la convergenza delle serie numeriche. Tale criterio (che di fatto è un corollario del criterio di d’Alembert) asserisce che, data una serie a termini positivi:

se l’espressione

si mantiene, da un certo indice in poi, maggiore di un numero h>1, la serie converge; diverge se la stessa espressione, da un certo indice in poi, si mantiene minore o uguale a 1. C’è un corollario di tale criterio che stabilisce che, se l’espressione di cui sopra, al tendere di n all’infinito, ha limite L, la serie converge oppure diverge a seconda che si abbia L>1 oppure L<1 (se L=1, il criterio non fornisce una risposta).

Possiamo studiare attraverso questo corollario, ad esempio, il carattere della serie armonica generalizzata:

A tal fine si ha:



Per n→∞, tale espressione ha limite uguale ad α, e con ciò possiamo concludere che la serie armonica generalizzata converge se α>1.

Ma quasi tutti sanno che…

… La somma dei cubi di tre numeri naturali consecutivi è divisibile per 9.

Esempi:
0³ + 1³ + 2³ = 0 + 1 + 8 = 9
1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36
5³ + 6³ + 7³ = 125 + 216 + 343 = 684

Naturalmente 9, 36 e 684 sono divisibili per 9. Questi esempi non bastano? E’ da fisici generalizzare sulla base di alcuni casi particolari? Va bene, questa volta andiamo a dimostrare l’enunciato. Procediamo per induzione (quella matematica, però).

Siano n, n+1, n+2 tre numeri naturali consecutivi e sia s(n) la somma dei loro cubi:

s(n) = n³ + (n+1)³ + (n+2)³.

Vogliamo dimostrare che s(n) è divisibile per n qualunque sia il numero naturale n.

Passo base:
s(0) = 0³ + 1³ + 2³ = 9; s(0) è divisibile per 9.

Passo induttivo:
si tratta di vedere se, nell’ipotesi induttiva che s(n) sia divisibile per 9 per ogni n≥0, anche s(n+1) è divisibile per 9.
Ebbene:
s(n+1) = (n+1)³ + (n+2)³ + (n+3)³ =
= (n+1)³ + (n+2)³ + n³ + 9n² + 27n + 27 =
= s(n) + 9(n² + 3n +3).
In tal modo s(n+1) risulta la somma di s(n) e di 9(n² + 3n +3), entrambi divisibili per 9.

Questo è tutto.

Forse non tutti sanno che…

… che la differenza tra un numero intero e lo stesso numero scritto in ordine inverso è divisibile per 11.

E’ una bufala trovata su un testo di matematica per periti elettrotecnici. Esempi e controesempi:
917 – 719 = 198 (divisibile per 11)
58173 – 37185 = 20988 (divisibile per 11)
83 – 38 = 45 (non è divisibile per 11)
3241 – 1423 = 1818 (non è divisibile per 11).

Compitino domenicale

Sia (a, b, c) una terna pitagorica, vale a dire una terna di numeri naturali tali che a²+b²=c². Il compitino consiste nel verificare che sono pitagoriche anche le seguenti tre terne:

1. (2a+b+2c, a+2b+2c, 2a+2b+3c)
2. (-2a+b+2c, -a+2b+2c, -2a+2b+3c)
3. (a-2b+2c, 2a-b+2c, 2a-2b+3c).

Così, a partire per esempio dalla terna fondamentale (3, 4, 5), si ricavano le terne:

(6+4+10, 3+8+10, 6+8+15) = (20, 21, 29)

(-6+4+10, -3+8+10, -6+8+15) = (8, 15, 17)

(3-8+10, 6-4+10, 6-8+15) = (5, 12, 13).

Il paradosso della serie armonica

E’ noto che la serie armonica è la sommatoria infinita dei reciproci dei numeri naturali:

Ed è noto che tale serie è divergente: la somma degli infiniti termini della serie è essa stessa infinita. La divergenza è in realtà piuttosto lenta. Ecco cosa si ottiene con Derive:

La somma dei reciproci dei primi 10 milioni di numeri naturali è minore di 17, e per sputare il risultato il mio Derive ha impiegato circa 3 minuti e mezzo! Non vi venga in mente di affidarvi a Derive per raggiungere, mettiamo, la misera somma di 60: dovreste avere un bel po’ di tempo da perdere (un miliardo di anni?); semmai date uno sguardo qui, dove si evidenzia appunto il paradosso della serie armonica. Ma è meglio se vi affidate alla formula per il calcolo approssimato: